интервал

Доверительные интервалы для параметра экспоненциального закона

Какими бы ладными свойствами эти оценки не обладали, эдак несмещенностью и эффективностью, все же в ряде случаев, мыслящих немаленький утилитарный заинтересованность, оказывается недостаточным характеризовать качество и надежность изделий исключительно с поддержкой оценок. Если несогласие элемента приводит к немаленькому ущербу, то используются исключительно страшно верные элементы. В случае показательного закона отказов это означает, что величина должна быть крайне мелкотравчата. Поскольку времена Т проведения испытаний ограничено, то малость приводит к тому, что среднее число отказов, созерцаемых при проведении испытаний, также невелико. Может угодить, что при проведении испытаний отказы вообще не наблюдаются. В тех случаях, когда созерцаемое число отказов пять от нуля, однако невелико, натуральная мера разброса значений случайной оценки - касательство корня из дисперсии к математическому ожиданию - огромна (>1), отчего размер оценки визгливо меняется от испытания к испытанию и не может предназначаться устойчивой характеристикой надежности элементов. экспоненциального закона метода доверительных интервалов. обоесторонним доверительным интервалом с коэффициентом доверия, не меньшим , именуется случайный интервал , гробы коего зависят исключительно от исходов испытаний х и для любого Верхним и нательным однобокими интервалами зовутся экие случайные интервалы, для каких при любом При построении доверительных интервалов мы будем использовать тотальный метод. При этом в качестве случайных величин, распределение каких зависит от незнаемого параметра , мы будем цопать значения достаточных статистик, какие получаются в итоге проведения испытаний. приметим, поскольку оценки для параметра изображают однозвучными функциями от рассматриваемых короче достаточных статистик, то доверительные интервалы, полученные исходя из оценок, с одной сторонки, и достаточных статистик, с иной, - сходятся. Мы несколько изменим распорядок изложения, рассмотрев поначалу более простые планы [N, B, T], [N, B, r], [N, Б, r], [N, Б, T], а затем более сложные планы [N, B, (r, T)], [N, Б, (HS)], [N, Б, (r, T)]. Для плана [N, B, T] достаточной статистикой изображает число d(T) наблюденных отказов. d(T) - случайная размер, обладающая пуассоновское распределение с параметром . На плоскости , где - смысл параметра пуассоновской величины, а d - число наблюденных отказов. Для построения верхней меры доверительного интервала с коэффициентом доверия, не меньшим , мы должны для всякого значения , что вероятность того, что достаточная статистика встретит смысл, не большее , не превышает 1 - , а вероятность встретить не большее [ +1] - уже вяще, чем 1 - . эдак что размер d(T) распределена по закону Пуассона, то ... (1) . отметив, что , мы получаем, что . эдак что d( ) принимает исключительно целочисленные значения, то изображает ступенчатой неубывающей функцией (рис. 1). Рис. 1. Вид При этом из (1) вытекает, что , для которого ... (2) > 0, d=0,1,2,..., для которых . Из определения вытекает, что вероятность того, что случайная точка , где , а d(T) - число отказавших элементов, попадает в куча , ни при каком значении . Событие эквивалентно тому, что значение , определяемой из (2). Вероятности эквивалентных событий равновелики поэтому ... (3) таковским образом, изображает верхней доверительной мерой с коэффициентом доверия, не меньшим . эдак как , то . > 0, , для каких или ... (4) Из обстоятельств (4) вытекает, что вероятность . Учитывая, что функция - однозвучно сбывающая из (4), получаем, что точка тогда и исключительно тогда, когда значение , для которых ... (5) эдак что исключительно при этом не выполняется желая бы одно из неравенств (4). Итак, событие . Отсюда получаем ... (6) ... (7) и исходя из (5), можно записать ... (8) таковским образом, интервал изображает доверительным с коэффициентом доверия, равным . Учитывая опять, что , получаем доверительный интервал для оцениваемого значения , ... (9) будут что решения уравнений (5). Если d=0, то значение (0-1) слывет равновеликим нулю. Рассмотрим отдельный образчики. образец 1. Предположим, что проводились испытания по плану [N=500, B, T=100] и при этом было зарегистрировано 5 отказов: d(T) = 5. Требуется найти верхний доверительный предел с коэффициентом доверия =0,9. Вычисляя, находим, что =0,9. Отсюда с вероятностью 0,9 не превосходит найденного значения . соорудим сейчас двухсторонний доверительный предел, подобающий значению =0,9; = 0,05 находим . Отсюда по формуле (9) находим При использовании плана [N, B, r] достаточной статистикой изображает момент t , появления r-го отказа. Плотность вероятностей этой статистики задается из разоблачила . приметим сейчас, что плотность случайной величины ... (10) т.е. не зависит от незнаемого значения параметра . Если задаться значением коэффициента доверия значениями и этакими, что ... (11) то из плотности (10) вытекает, что ... (12) , отчего имеем ... (13) > 0 , то случайный интервал . Соответственно для параметра доверительный интервал располагает вид: ... (14) получаем из (14), полагая = 0, . При этом , . образец 2. В итоге испытаний в соответствии с планом [N=500, B, r=15] получено, что . Найти верхний доверительный интервал с коэффициентом доверия =0,99. Вычисляя значения , что =25,446. Из формулы (14) получаем смысл меры доверительного интервала для Аналогичным способом можно отгрохать доверительный интервал для плана [N, Б, r]. тут достаточной статистикой изображает суммарная наработка ощущаемых элементов , где моменты отказов элементов. Плотность этой статистики имеет из разоблачила , отчего случайная размер располагает плотность (10). Повторяя рассуждения, использованные при выводе формулы (13), получаем, что ... (15) Итак, двухсторонний доверительный интервал для , подобающий коэффициенту доверия , будет обладать границы ... (16) ) - суммарная наработка элементов за времена проведения испытаний. Соответственно верхняя грань однобокого интервала с коэффициентом доверия План [N, Б, T]. В случае плана достаточными статистиками изображает число d(t) отказавших элементов и суммарная наработка , отчего условная плотность распределения моментов отказов утилитарны сходится с плотностью ритмичного распределения, эдак что она равна . , если только . итак, в наиболее значительной области малых значений параметра утилитарны вся информация об этом параметре сосредоточена в достаточной статистике d(T). Исходя из этого, мы ограничиваемся исключительно статистикой d(T). Можно было бы рассмотреть значения самой оценки для параметра , равной , однако этот линия приводит к громоздким, невелико пригодным для использования формулам. эдак что всякий элемент может отказать самосильно от отказов иных элементов, а вероятность отказа , то распределение отказов d(T) изображает биномиальным изображает однозвучной по p, отчего неравенство итак, ... (17) = 0, для d=0,1,.., N, то из (17), полагая = 0, , получаем однобокий доверительный интервал с коэффициентом доверия, не меньшим . ... (18) Из (17) находим, что двухсторонний доверительный интервал располагает вид ... (19) будут из (18), а ... (20) . образец 3. Испытания проводятся по плану [N = 150, Б, T=100 час]. За времена испытаний отказало 5 элементов. Требуется найти двухсторонний доверительный интервал с коэффициентом доверия = 0,95. Находим, что таковским образом, из формулы (19) План [N, Б, (r, T)]. Моменты отказов образуют пуассоновский поток с интенсивностью . Основная специфика этого случая заключается в том, что достаточная статистика для параметра изображает составной. Если смысл t > T, то она равновелика значению d(T) числа моментов, отказавших за времена T; если же t < T, то достаточная статистика t равновелика - моменту появления r-го отказа. (рис. 2) Рис. 2. График точек плоскости вида Если в итоге испытаний элементов, для которых , наблюдается смысл t <T, то итоги испытаний отмечаются случайной точкой . Если же t > T и число отказов равновелико d(T) = d, то исход эксперимента обозначается случайной точкой . строится вытекающим образом. Задаемся двумя числами , > 0, ). При фиксированном значении или t, для каких будет из условий - полное число, не большее r - 1, если ... (21) , то , где ... (22) , S) , для которых ... (23) , то в качестве выбирается число , где - полное число, не большее r - 1, будет из условий ... (24) Вероятность того, что исход испытания будет отмечен случайной точкой . Соответственно вероятность супротивного события . Если в итоге проведения испытаний наблюдалось отказов, то событие ... (25) - функции, исподние к , , при которых равновелики T + r - d, d = 0, ... , r - 1. Из уравнений (21) и (24) находим, что ... (26) ... (27) однако эти уравнения эквивалентны уравнениям (11). Отсюда находим, что ... (28) . <T, то событие ... (29) , - функции, исподние к , , при каких значения не превышают Т. Из (22) и (23) находим, что и определяются уравнениями ... (30) ... (31) Эти уравнения эквивалентны уравнениям (11), в которых таковским образом, построение доверительного интервала для оценки параметра при использовании плана [N, B, (r, T)] надобно изготовлять эдак же, что при использовании планов [N, B, T], [N, B, r] в подвластности от того, обладаем мы t > T . План [N, Б, (r, HS )]. План [N, Б, (r, HS )] эквивалентен плану [N = 1, B, (r, S )]. отчего двухсторонний доверительный интервал располагает вид ... (32) ... (33) , d(t) - число элементов, отказавших к моменту t. однобокий доверительный интервал получаем из формул (32), (33), полагая в них = 0 , что отвечает значению = 0. образец 4. Испытания проводились в соответствии с планом [N=500, Б, (r=20, HS =20000)]. К моменту завершения испытаний, когда суммарная наработка стала равновеликой 20 000, отказало 16 элементов. Требуется найти верхний доверительный предел, подобающий коэффициенту доверия = 0,99. эдак что значение , т.е. суммарная наработка элементов достигла уровня S заданного до принялась испытаний, прежде, чем подоспел несогласие 20-го элемента, то верхняя доверительная грань будет по формуле (32). Можно получить, что , откуда План [N, Б, (r, T)]. Вполне аналогичным способом можно получить доверительные интервалы для случая плана [N, Б, (r, T)]. тут достаточная статистика равновелика либо наработке S(t , если , либо изображает двумерной (d(T), S (T)), если t >T, где d(T) - число отказавших элементов, а - суммарная наработка. Однако по тем же соображениям, какие приводились для случая плана [N, Б, T], статистику S (T) мы исключаем из рассмотрения. Итак, смысл случайной величины, исходя из коей мы строим доверительный интервал, равновелико d(T), если t >T, и равно , если t <T. На плоскости - обоюдно самосильные неотрицательные случайные величины с плотностью, равной . Поэтому ... (34) ... (35) ниже, в точности повторяя все рассуждения, использованные при построении множества и затем доверительных интервалов для плана [N, B, (r, T)], и учитывая, что распределение d(T) изображает биномиальным, получаем доверительные интервалы для параметра ). Если к моменту Т завершения испытаний всеобщее число отказов d(T) = d < r, то верхняя граница ... (36) ... (37) <T, то верхняя грань будет из уравнения ... (38) ... (39) . приметим, что , для случая t необходимо обладать таблицы решений уравнений (38), (39). Если для избранного значения r плана [N, Б, (r, T)] отношение , то планы [N, Б, (r, T)] и [N, B, (r, T)] утилитарны эквивалентны; соответственно эквивалентны планы [N, B, r] и [N, Б, r], эдак что число заменяемых элементов составляет мизерную доля от их поголовного числа. отчего в первом приближении для построения доверительных интервалов можно почитать, что испытания проводились не по плану [N, Б, (r, T)], а по плану [N, B, (r, T)]. По той же причине оказываются утилитарны эквивалентными доверительные интервалы, отгроханные исходя из плана [N, Б, r] и [N, B, r], если исключительно

Похожие записи:

интервал

интервал

Доверительные интервалы для параметра экспоненциального закона

Последнии записи

Популярные записи